Золотой фонд
Новое в справочном разделе
Комментарии читателей rss

Религиозно-философские аспекты мысли К.Геделя

26 февраля 2009 г.
Статья доцента Тобольской духовной семинарии священника Димитрия Кирьянова посвящена малоизвестному направлению творчества выдающегося логика и математика XX века Курта Геделя — а именно религиозно-философским вопросам.

Выдающийся логик и математик XX века К.Гедель (1906-1978) известен в научном мире, главным образом, благодаря теоремам о неполноте, которые являются шедеврами математики, а также благодаря модели вращающейся вселенной, в которой совпадают удаленное прошлое и удаленное будущее. Будучи специалистом в области теории доказательств, он смог сделать модальную логику серьезным научным инструментом благодаря демонстрации полезности модальных операторов в исследовании оснований математики.

Однако за рамками научного рассмотрения его идей, как правило, остаются аспекты его мысли, которые имеют непосредственное отношение к богословию. Биография Геделя, написанная Хоа Вангом[1], который в течение длительного времени общался с Геделем, свидетельствует о том, что Гедель интересовался религиозными вопросами. Ванг подчеркивает, что невозможно отделить научный импульс Геделяот связанных с ним религиозных вопросов. К. Гедель описывал свою собственную философию как «рационалистическую, идеалистическую, оптимистическую и теологическую»[2]. По словам другого биографа К.Геделя Дж. Доусона, центральными для жизни и мысли К. Геделя были несколько убеждений: 1) вселенная является организованной разумным образом и постижимой; 2) вне физического мира существует ментальная область; 3) концептуальное понимание осуществляется посредством интроспекции...»[3] Убежденность в рациональной постижимости мироздания была основанием философского  теизма Геделя, «согласно которому порядок мира отражает порядок высшего разума, руководящего им»[4].

Среди ученых, находившихся под влиянием К.Геделя, был его друг Альберт Эйнштейн. С 1940 по 1955 они были коллегами в институте прикладных исследований в Принстоне. Один из основателей теории игр Оскар Моргенштерн свидетельствует, что когда Эйнштейн потерял энтузиазм к своей собственной работе, он приходил на работу для того, чтобы «иметь привилегию идти домой вместе с Куртом Геделем»[5]. Как отмечал Э. Штраус, ассистент Эйнштейна в Принстоне: «Единственным человеком, который был в течение последних лет лучшим другом Эйнштейна, и в некотором смысле странным образом похожим на него, был К. Гедель, величайший логик. Они были весьма различны почти во всем — Эйнштейн общительный, счастливый, улыбчивый и здравомыслящий, а Гедель предельно важный, очень серьезный, совершенно одинокий и недоверчивый к здравому смыслу как средству достижения истины. Но они имели общее качество: оба шли прямо и искренне к вопросам, лежащим в самом центре вещей»[6]. Однако, несмотря на дружбу с Эйнштейном, Гедель имел свой специфический взгляд на религию и богословие.

Как свидетельствует переписка К.Геделя с Б.Д. Грандианом, он был самостоятельным мыслителем-теистом, и проявлял особый интерес к исследованию онтологического аргумента бытия Божия. Важным аспектом философской мысли Геделя является то, что он был не только теистом, но и персоналистом. Гедель отвергал представление о Боге как безличном существе, каким был Бог для Эйнштейна. Эйнштейн свидетельствует о себе, что верит в «Бога Спинозы, который открывает себя в гармонии всего, что существует, а не в Бога, который заботится о судьбе и действиях людей»[7]. По этому поводу К.Гедель заметил: «Религия Эйнштейна является слишком абстрактной, как у Спинозы и в индийской философии. Бог Спинозы меньше, чем личность; мой Бог больше чем личность; поскольку Бог может играть роль личности. Могут существовать духи, которые не имеют тела, но могут общаться с нами и оказывать влияние на мир»[8]. По мнению Геделя, Бог, которому недостает способности «играть роль личности», лишен всемогущества и, таким образом, нарушает определение, обычно принимаемое в качестве определения Бога. Следовательно, если Бог существует, полагал Гедель, тогда Он должен быть по крайней мере способен играть роль личности.

Как уже отмечалось, Гедель внес вклад не только в развитие математики и логики, но также и в области космологической теории. В 1949 Гедель выразил свои идеи в эссе, которое, по мнению А.Эйнштейна, являлось важным вкладом в общую теорию относительности, особенно в анализ концепции времени. Предложенная Геделем модель вращающейся вселенной, в которой совпадают удаленное прошлое и удаленное будущее, подвигла к спорам относительно возможности, или, напротив, невозможности существования такой вселенной. Гедель, фактически, показал, что в рамках определенных моделей вселенной, удовлетворяющих уравнениям общей теории относительности, становится теоретически возможным путешествие во времени. Гедель считал, что время, «эта таинственная и одновременно самопротиворечивая сущность, которая формирует основу мира и нашего собственного существования»[9], в конце концов, станет величайшей иллюзией. Время в классическом смысле «когда-то» перестанет существовать, и наступит иная форма бытия, которую можно назвать вечностью. Неудивительно, что такое представление о времени привело К.Геделя к убежденности в существовании жизни за гробом. Он писал: «Я убежден в посмертном существовании, независимо от теологии. Если мир является разумно сконструированным, тогда должно быть посмертное существование»[10].

В современном мире атеисты и агностики обычно акцентируют внимание на том, что их философия является рациональной, а теистические выводы отбрасываются ими как психологическое убежище невеж или самообман. Это можно видеть на примере таких современных популяризаторов науки как Р.Докинз и Д.Деннет. Сторонники этой позиции рассматривают теизм как в высшей степени иррациональное убеждение, входящее в радикальный конфликт с доводами разума. Однако К.Гедель, принадлежавший к долгой традиции европейского рационального богословия, восходящей к Р.Декарту и Г.В.Лейбницу, считал возможным построить рациональную теологию.

Внимательный взгляд на основания физики и математики, также как на историю этих дисциплин приводит к выводу, что вера является общим знаменателем науки, математики и теологии. Рассмотрим природу аксиом любой формальной системы, например математической. Как только произведен выбор аксиомы, принятые правила вывода могут быть введены в компьютер, чтобы проверить достоверность любого аргумента, но сами аксиомы при этом остаются произвольными в том смысле, что их выбор основан на некоторых довольно произвольных предположениях. Аксиомы являются полезными, но они могут не иметь статуса необходимой истинности. Смена аксиом изменяет систему и совокупность истинных предположений. Если в настоящее время математики пользуются «систему аксиом, для которой никто не может дать убедительной демонстрации логичности»[11], ситуация становится еще более обескураживающей. Тем не менее, большинство мыслителей нового времени полагали и продолжают считать, что математика является наиболее надежным средством для получения знания. Философ науки Эдвард Нельсон называет такое убеждение «пифагорейской религией»[12].

Вера играет жизненно важную роль и в естествознании. При рассмотрении природы энергии или материи законы физики принимаются как аксиоматические. Если мы верим, что «мир является рациональным» и упорядоченным, как полагал Гедель, тогда принятие законов физики как аксиоматики может быть приемлемым; однако как и в богословии, вера остается предварительным шагом к пониманию. Сегодня большинство ученых утверждают, что даже если они не могут полностью объяснить происхождение вселенной, жизни, природу сознания или природы времени, ответ на эти вопросы не должен подразумевает никакой апелляции к Богу. Однако такой подход, отрицающий веру в трансцендентное, тем не менее, основан на иной вере, вере в то, что процесс познания рано или поздно приведет к положительному результату. При внимательном рассмотрении становится очевидно, что вера играет существенную роль в развитии или, напротив, разрушении знания. К.Гедель считал, что вера не может рассматриваться как излишнее предубеждение, и акцентировал внимание на том, что религия имеет положительное содержание. Однако для него наличие веры в интеллектуальном познании не означало отказа от рационального обоснования веры. Он со всей серьезностью принял вызов Л.Виттгенштейна, акцентировавшего внимание на необходимости рациональной аргументации в пользу существования Бога. В качестве инструментария для исследований онтологического аргумента, впервые предложенного Ансельмом Кентерберийским в «Прослогионе», Гедель использует модальную логику. Однако, боясь насмешек своих коллег, Гедель не публиковал при жизни статей, посвященных онтологическому аргументу бытия Божия.

Каким образом математик занялся вопросом о существовании Бога? Гедель был мистиком, чьи математические исследования получили свое вдохновение из неоплатонической философии. В этом отношении Гедель имел много общего как со средневековыми богословами и философами, так и математиками XX века. Однако, более глубокая причина того, что Гедель занялся онтологическим аргументом, заключается в том, что его наиболее сложные версии изложены в терминах так называемой модальной логики, области логики, которая была знакома средневековым схоластам, и аксиоматизирована К.А. Льюисом. Оказалось, что модальная логика является не только полезным инструментом, с помощью которого можно обсуждать вопрос о бытии Бога, но также полезным языком для теории доказательств, исследования того, что может и не может быть доказано в математических системах.

Для Геделя, в отличие от большинства его современников, было очевидно, что рациональная теология может быть аксиоматизирована аналогично математической или физической теории. В этой связи является показательным диалог, который состоялся между К. Геделем и Р. Карнапом 13 октября 1940 г. В этой дискуссии Гедель акцентирует внимание на том, что «можно установить точную систему постулатов, использующих концепции, которые обычно рассматривают как метафизические: Бог, душа, идея»[13]. Причем эта «теория», по мнению Геделя, будет иметь наблюдаемые следствия. Фактически, он предлагает построение некой мета-теории, которая включает и рациональную теологию: «Такая теория должна привести к следствиям, которые могут быть доступны эмпирически, но форма центральных теоретических концепций внутри такой теории должна простираться гораздо дальше объективно верифицируемого»[14]. Карнап признает в дискуссии, что современная физика имеет логическую структуру, аналогичную представленной Геделем для теологии: физические теории содержат концепции, такие как электрон, волновая функция и электромагнитное поле, которые позволяют вывод наблюдаемых и измеримых фактов, хотя эти абстрактные концепции не могут быть определены исключительно в терминах методов и результатов наблюдения, то есть, исключительно на эмпирической основе[15]. Карнап признает, что утверждение Геделя является корректным, но только с чисто формальной точки зрения; его понятие о теоретических концепциях в теологии более не противоречит понятиям теоретических терминов, скажем в физике, на строго логических или эпистемологических основаниях. Но это формальное рассмотрение является, по мнению Карнапа, недостаточным, поскольку оно не решает, какая концептуализация является плодотворной для прогресса знания, а какая нет. Наука, по мнению Карнапа, гораздо лучше любой теологии, которая может быть развита в направлении, предложенном Геделем. Гедель отвечает Карнапу, что этот вопрос является эмпирическим, и ответ не может быть известен априори. Карнап соглашается, однако продолжает утверждать, что никакой ученый не будет рассматривать попытку в этом направлении как заслуживающую внимания. Гедель не соглашается, акцентируя внимание на том, что решительный прогресс в науке часто зависит от изменения направления. Он указывает на то, что парадигмальные изменения направлений часто доказывали плодотворность в развитии знания, и он настаивает, что попытка по отношению к теологии должна быть сделана. Неудивительно, что Гедель уже в 1940 г. предпринял свои первые попытки построения онтологического доказательства бытия Божия.

Онтологический аргумент бытия Божия впервые был предложен Ансельмом Кентерберийским в работе «Прослогион». Ансельм определяет Бога как Существо, больше Которого нельзя ничего помыслить. Он утверждает, что даже атеист должен согласиться с тем, что существование Бога возможно, но для атеиста такое существование является просто возможной ложью. Как художник мыслит свое творение до воплощения его на картине, атеист может утверждать, что он может помыслить мир, в котором Бог существует, даже если этот мир не является истинным миром. Онтологический аргумент Ансельма в сжатой форме можно представить следующим образом: «Бог, по определению, является тем, больше чего нельзя ничего помыслить. Бог существует в мышлении. Но существование в реальности больше, нежели существование только в мысли. Следовательно, Бог должен существовать».

В XVII веке, Рене Декарт, используя аналогию с евклидовой геометрией, продолжает развивать онтологическое доказательство. Он утверждает, что «существует не меньшее противоречие в представлении Высшего Совершенного Бытия, которому недостает существования, чем в представлении треугольника, сумма углов которого не равна 1800».[16] Мыслить Высшее Совершенное Бытие, которому недостает существования, по мнению Декарта, означает впадать в логическое противоречие. В XVIII в. Г.В. Лейбниц предпринял попытку усовершенствовать аргументацию Декарта. Он утверждал, что поскольку совершенства не могут быть проанализированы объективно, невозможно продемонстрировать, что совершенства являются несовместимыми, и пришел к выводу, что все совершенства могут сосуществовать в одной сущности, а именно, Боге.

В контексте этих философских и исторических рамок К. Гедель разрабатывает свою версию онтологического доказательства. Он восхищался Лейбницем и пытался представить более строгое доказательство, используя модальную логику. К сожалению, изложение аргументации К.Геделя невозможно без введения в основы модальной логики, а потому выходит за рамки представленной статьи.

Б. Рассел справедливо подметил, что «гораздо легче предположить, что онтологические аргументы являются не столь хорошими, чем сказать точно, что ошибочно в них»[17]. Логическая безупречность выводов К.Геделя, не обязывает человека с необходимостью принимать его аргументацию. Уже стало классическим возражение против онтологического аргумента И.Канта, который акцентировал внимание на том, что существование не является предикатом. Однако если кантовская критика была законной в отношении классического онтологического аргумента в интерпретации Декарта, использующего пропозиционную логику, она теряет свою силу в отношении к доказательству, сформулированному на языке модальной логики. Как и в отношении аргумента Ансельма, Декарта и Лейбница с момента публикации первых статей, посвященных онтологическому аргументу К.Геделя, противники ставили под вопрос достоверность либо самой модальной логики, либо высказывали возражения против представленного в доказательстве набора аксиом и определений.

Разумеется, не следует быть наивными и полагать, что мы можем убедить любого разумно мыслящего человека принять теизм с помощью онтологического аргумента, или другим доказательствам существования. Можно назвать, по крайней мере, одного человека, которого онтологическое доказательство привело к религиозной вере — писатель Клайв Стейплз Льюис[18]. В то же время те, кто находит утверждения онтологического аргумента подозрительными, должны спросить себя, на чем основаны их подозрения, на действительных ошибках в доказательстве, или на нежелании принять заключительный вывод аргумента.

Несмотря на то, что первые наброски собственной версии аргумента Гедель сделал еще в 1941 г., до 1970 г., боясь насмешек своих коллег, он не говорил об этом. В феврале 1970 г., почувствовав приближение смерти, он разрешил своей помощнице Дане Скотт скопировать версию своего доказательства. В августе 1970 г. Гедель сказал Оскару Моргенштерну, что он удовлетворен доказательством, однако Моргенштерн записал в своем дневнике под 29 августа 1970 г., что К. Гедель не публиковал его, поскольку думал, что другие могут подумать, что «он действительно верит в Бога, в то время как он только занимался логическим исследованием (то есть, стремился показать, что такое доказательство с классическими утверждениями (полноты и т.д.) правильным образом аксиоматизированное, является возможным)»[19]. После смерти Геделя в 1978 г. в его бумагах была обнаружена несколько иная версия онтологического аргумента. Обе они были опубликованы в 1987 г. Дневник О.Моргенштерна является важным и обычно надежным источником о последних годах Геделя, но упоминание о том, что Гедель не верит в Бога не согласуется с другими свидетельствами. В письме своей матери, которая считала своего сына вольнодумцем, К.Гедель говорит о своей вере в посмертное существование. Жена К. Геделя, Аделе, через два дня после смерти мужа сказала Хао Вангу, что Гедель, «хотя и не посещал церковь, был религиозен и читал Библию в кровати каждое воскресное утро»[20]. Гедель говорил: «Моя вера является теистической, а не пантеистической, следуя Лейбницу, нежели Спинозе»[21].

Между онтологическим аргументом бытия Божия и современным научным знанием существует некоторая аналогия. Онтологический аргумент пытается обосновать все существующие вещи на необходимом бытии — Боге. Подобным образом, наука пытается обосновать явления этого мира на фундаментальном типе необходимости. Физические законы не являются логически необходимыми, но являются необходимыми в большей степени, чем простые факты, поскольку они предполагаются как являющиеся истинными на все времена и во всех местах. Таким образом, поиск фундаментальной единой физической теории может рассматриваться как похожий по своему духу на обоснование всего тварного мира на необходимом Бытии. Однако в отношении поиска фундаментальной теории следует сказать, что оптимизм, который выражен в словах С.Хокинга, что человек сможет «познать разум Бога», является несколько необоснованным вследствие теорем о неполноте, которые были доказаны К.Геделем. В 2004 г. это признал и сам С.Хокинг: «Я хочу задать вопрос о том, как далеко мы зашли в нашем поиске понимания и познания. Найдем ли мы, наконец, окончательную форму законов природы. Под завершенной формой я подразумеваю набор правил, который по крайней мере в принципе, позволяют нам предсказать будущее с произвольной точностью, зная состояние вселенной в любой момент времени»[22]. Хокинг полагает, что вероятно невозможно сформулировать теорию вселенной в конечном числе утверждений вследствие теорем Геделя.

Теоремы Геделя о неполноте предполагают, что в любой аксиоматической и связной системе, подобной арифметике, существуют истины, которые не могут быть доказаны в рамках этой системы. Этот вывод имеет глубокие философские следствия, которые разрушили надежды многих предшествующих математиков и философов, таких как Д.Гильберт, Б.Рассел и Л.Виттгенштейн. К.Гедель пришел к доказательству своих теорем о неполноте желая провести четкое разделение между чистой математикой и мета-математическими предположениями. Формализация или аксиоматизация арифметики (в общем, любой дедуктивной теории) является сведением арифметики к небольшому набору первоначальных формул и правил манипуляции символами Формальная система интерпретируется как представляющая дедуктивную систему, если первоначальные формулы могут быть интерпретированы как выражающие аксиомы теории и правила символической манипуляции, логические правила вывода. Первая теорема Геделя о неполноте утверждает, что «любая формальная система, которая является столь же сложной как арифметика, конечной и последовательной, содержит предположение, которое никогда не может быть доказано или опровергнуто в рамках этой системы, и, таким образом, является неполной»[23]. Доказательство согласованности с неизбежностью требует использования некоторых предположений, которые выходят за рамки арифметики. Любая дедуктивная теория, которая включает элементарную арифметику (понятия о натуральных числах и операции сложения и умножения) также является наследницей этой неполноты. Более того, К.Гедель показал, что практически любое мета-математическое предположение формально может быть сведено к простым арифметическим выражениям. Таким образом, философское значение теорем о неполноте выходит далеко за рамки чистой математики. Согласно позитивистской философии науки любая физическая теория является математической моделью, т.е. представленной на языке математики. С.Хокинг справедливо указывает: «Если существуют математические результаты, которые не могут быть доказаны, существуют физические проблемы, которые не могут быть предсказаны»[24]. Мы и наши модели являемся частью вселенной, которую описываем. Таким образом, физическая теория является самозамкнутой как в теоремах Геделя. Можно, следовательно, ожидать, что она или несовместима, или неполна. Фактически, сегодня С. Хокинг как и ранее М.Геллманн стал сомневаться в возможности построения финальной теории. Однако, как указывает С. Яки, проблема заключается не в невозможности построить финальную теорию, а в невозможности доказать, что построенная нами теория является действительно финальной[25]. Это не означает конца физики вообще. Теорема Геделя не подразумевает того, что физик не может прийти к теории всего. Ученые могут искать теорию, которая на момент ее формулировки даст объяснение всех известных физических явлений. Но в терминах теоремы Геделя такая теория не может рассматриваться как несомненно истинная. Такая теория не может гарантировать, что в будущем в физической вселенной не будет открыто ничего нового, что должно затем потребовать другой финальной теории и т.д. Теорема Геделя предполагает, что если ученые задаются целью понять разум Бога, то они не будут иметь в этом успеха.

К. Гедель до конца дней сохранил нечто от своей детской веры в Бога. Он глубоко ощущал негативный пафос материалистического позитивизма, и рассматривал свою теорему как сокрушительное оружие против него. 


[1] Wang H. Reflections on Kurt Godel. MIT Press, 1987.

[2] Ibidem. P. 316.

[3] Dawson J.W. Logical Dilemmas. The Life and Work of Kurt Godel. A.K. Peters, Wellesley, 1997. P. 261.

[4] Yourgrau P. A World without Time: The Forgotten Legacy of Gödel and Einstein. NY, Basic Books, 2005. P. 104-105.

[5] Morgenstern O. Letter to Bruno Kreisky. 1965. // Wang H. Reflections on Kurt Godel. MIT Press, 1987. P. 31.

[6] Wang H. Reflections on Kurt Godel. Massachusetts, MIT Press, 1987. P. 115.

[7] Цит. по: Frankenberry N. Faith of Scientists in Their Own Words. Princeton University Press, 2008. P. 151.

[8] Wang H. A Logical Journey: From Gödel to Philosophy. Massachusetts, MIT Press, 1996. P. 152.

[9] Yourgrau P. A World without Time: The Forgotten Legacy of Gödel and Einstein. NY, Basic Books, 2005. P. 111.

[10] Davis P.J. A Brief Look at Mathematics and Theology. URL: http://www2.hmc.edu/www_common/hmnj/davis2brieflook1and2.pdf (дата обращения 20.02.2009).

[11] Nelson E. Mathematics and Faith. URL: http://www.math.princeton.edu/~nelson/ (дата обращения 20.02.2009).

[12] Ibidem.

[13] Gierer A. Godel meets Carnap: A prototypical discourse on science and religion// Zygon, 1997. V. 32. P. 214.

[14] Ibidem.

[15] Ibidem. P. 215.

[16] Hick J. Ontological Argument for the Existence of God// Encyclopedia of Philosophy. NY., Gale, 2006. V. 7. P. 16.

[17] Цит. по: Oppy G. Ontological Arguments // Stanford Encyclopedia of Philosophy. URL: http://plato.stanford.edu/entries/ontological-arguments/ (дата обращения20.02.2009).

[18] Edwards B.L. C.S. Lewis: Life, Works and Legacy. Volume 1. An Examined Life. London, Praeger, 2007. P. 36.

[19] Sobel J.H. Logic and Theism. Arguments For and Against Beliefs in God. NY. Cambridge University Press. 2004. P. 115-116.

[20] Ibidem. P. 116.

[21] Ibidem.

[22] Hawking S. Godel and the End of Physics. URL: http://www.damtp.cam.ac.uk/strtst/dirac/hawking/ (дата обращения 20.02.2009).

[23] Srikanth R., Srikanth H. Godel Incompleteness and the Black Hole Information Paradox.  URL: http://www.arxiv.org.0705.147v1/ (дата обращения 20.02.2009).

[24] Jaki S.L. A Late Awakening to Godel in Physics. URL: http://pirate.shu.edu/~jakistan/ (дата обращения 20.02.2009).

[25] Ibidem.

Подписаться на ленту комментариев к этой публикации

Комментарии (13)

Написать комментарий
#
6.03.2009 в 20:09
"Если есть истина, которая не является аксиомой и не доказуется - это нонсенс."

Почему? Возможно, Вы хотите сказать, нонсенс то, что мы не можем доказать утверждение, но знаем при этом, что оно истинно. Так тут как раз вся загвоздка в слове "доказать".

"утверждение А может принято как истинное в виде аксиомы в системе S+A, либо доказано как теорема в системе аксиом S+B. Вы почему-то, обратили внимание только на первую часть, совершенно упустив из виду вторую."

Здесь это не принципиально. Принципиально, что мы вынуждены ввести какие-то новые гипотезы, без них доказать утверждение A не получается. Но мы знаем, что и в новой системе (S+B) будут недоказуемые истинные суждения, и сколько бы мы её, эту систему, не расширяли, это нам не поможет. Истин всегда "много", а аксиом "мало" ...Не, ну можно ради интереса ввести счётную систему аксиом, только как с ней потом работать?...

"Вряд ли разумно сводить доказательство к субъективной убедительности, особенно в математике."

А почему же тогда неевклидовы геометрии так долго не принимали? Или там комплексные числа? =)

А вообще, в математике доказательства сводятся к правилам вывода и аксиомам - чисто формальная конструкция. И при этом достаточно произвольная. "Правильно" выбрав аксиомы, можно доказать всё что угодно.

"Как же тогда проф. Успенский принимает экзамены у своих студентов?"

Я думаю, как обычно... Просит экзаменуемого УБЕДИТЕЛЬНО доказать теорему. И ставит оценку за убедительность. =)

"Студент приходит, и говорит, что теорема Вейерштрасса, например, для меня совершенно неубедительна, и ставьте мне зачет?"

А это уже проблемы студента, а не экзаменатора. :))

" бессмысленно в контексте нашей дискуссии говорить о том, что еще не ясно, что означает слово "доказать".

Если под математикой понимать классические правила вывода и классическую аксиоматику - тогда Вы правы. Тогда всё ясно. Но ведь существуют ещё и неевклидовы геометрии, и интуиционизм, и много других интересных вещей... Более того, задавая свои собственные правила, мы вообще сможем доказать всё что угодно...
Ответить

#
5.03.2009 в 22:13
Игорю
Вывод Геделя о том, что есть вечное существование, был результатом не осмысления библейского текста, а результатом его научной рефлексии, веры в разумность мироздания, рациональную постижимость вселенной, логичность и упорядоченность. В статье я не привожу всей аргументации Геделя в пользу вечного существования, а лишь некоторые его мысли. Он не писал специальных статей по этому поводу. Отдельные мысли сохранились лишь в письмах. Логика его рассуждений могла бы быть примерно такой. Если мир разумно сконструирован, значит и бытие конкретного человека имеет разумный смысл. Но разумный смысл бытие человека может иметь только тогда, когда этот конкретный человек существует вечно, а не исчезнет бесследно.
Вряд ли разумно приводить аргументы от Священного Писания. В статье я не говорю, что Гедель глубоко исследовал Библию. Я лишь говорю, что в конце жизни он читал ее по воскресеньям утром. Более того, нигде в статье не указывается на то, что Гедель имел глубокую религиозную веру. Я всего лишь хотел показать, что и в XX веке есть выдающиеся мыслители, которые мыслили в рамках философского теизма, пусть даже не вполне ортодоксального. Я считаю, что на это тоже важно обращать внимание, особенно в связи с широко распространенным взглядом об "атеистичности" научного мировоззрения и науки вообще.
Второе, на что хотел бы обратить внимание. Время и вечность могут сосуществовать, как, например, сейчас существует рай.
Однако когда мы говорим о вечности, вряд ли возможно говорить, что люди будут вечны во времени. Свт. Василий Великий еще в IV веке рассуждая о времени и вечности говорил о том, что вечность это не время и не часть времени, потому что вечность неизмерима. А говоря об образе существования ангелов он писал, что Бог устроил "некое состояние, приличное премирным силам, вечное, присно продолжающееся". Вряд ли это состояние можно назвать временем. Я думаю, что интуиция свт. Василия Великого ближе к мысли К.Геделя, нежели Ваше представление о вечности. Священное Писание говорит о конечном преображении творения, когда будет "новое небо и новая земля". Каков образ вечного бытия, сказать мы не можем однозначно. У нас нет опыта вечности.

Семену.

Я уже объяснил, почему нужно принять "не нравящееся" вам утверждение серьезно. В арифметике, истина, которая не доказуется, называется аксиомой. Если истина доказуется, она называется теоремой, как вам, очевидно известно. Если есть истина, которая не является аксиомой и не доказуется - это нонсенс. Гедель был логиком, а не создателем нонсенсов. Он показал, что в арифметике, в частности, могут существовать утверждения, истинность или ложность которых не может быть доказана исходя из аксиом арифметики. Следовательно, арифметика не полна. Поскольку для того, чтобы доказать ложность или истинность этих утверждений, требуется введение дополнительных предположений или аксиом. В нижеследующем сообщении я указал на то, что утверждение А может принято как истинное в виде аксиомы в системе S+A, либо доказано как теорема в системе аксиом S+B. Вы почему-то, обратили внимание только на первую часть, совершенно упустив из виду вторую.
Когда мы говорим о том, что в арифметике могут существовать истинные утверждения, истинность которых не может быть доказана исходя из аксиом арифметики, то здесь используется важное понятие модальной логики "возможно истинные суждения", которые следует отличать от "абсолютно истинных утверждений". Т.е. в арифметике существуют "возможно истинные утверждения", но доказать истинность их мы не можем, исходя из аксиом арифметики. Первым таким возможно истинным утверждением является тезис о "непротиворечивости" самой арифметики. Для нас этот тезис является очевидным, но он недоказуем исходя из аксиом арифметики. Для доказательства непротиворечивости арифметики мы вынуждены прибегать к дополнительным допущениям, которые выходят за рамки ее аксиоматики.

Вряд ли разумно сводить доказательство к субъективной убедительности, особенно в математике. Как же тогда проф. Успенский принимает экзамены у своих студентов? Студент приходит, и говорит, что теорема Вейерштрасса, например, для меня совершенно неубедительна, и ставьте мне зачет? Нет, он требует того, чтобы студент представил доказательство этой теоремы, которое одинаково убедительно для любого, кто изучает математический анализ. Разумеется, что для студента с другого факультета это доказательство будет неубедительным, но не в силу слабости аргументации, а в силу того, что студент не знаком с высшей математикой. Не нужно все сводить к субъективности.

Проф. А.И.Осипов пишет: "Доказательствами в полном смысле слова являются лишь доказательства в математике и логике". О них мы как раз и говоим. Так что бессмысленно в контексте нашей дискуссии говорить о том, что еще не ясно, что означает слово "доказать".
Ответить

#
5.03.2009 в 14:17
Да, и ещё раз повторю: принять за аксиому и вывести формально - разные вещи.
Ответить

#
5.03.2009 в 14:14
Мне не нравится вот этот пассаж:

"Часто говорилось, что Гедель продемонстрировал, что существуют истины, которые не могут быть доказаны. Это неверно..."

Почему ж неверно? Множество недоказуемых истин в рамках формальной арифметики - счётно, "передоказать" их все - всё равно что "пересчитать" натуральный ряд.

Тут, кстати, ещё очень большая проблема со словом "доказать", не зря профессор Осипов любит обращать на это внимание. А другой профессор - В.А.Успенский (мех-мат МГУ, если не ошибаюсь) предлагает чрезвычайно широкую трактовку понятия доказательства, фактически сводя его к субъективной убедительности. Разница между "логическими" и "нелогическими" доказательствами здесь только в том, что первые для большинства людей более убедительны, чем вторые.
Ответить

#
5.03.2009 в 13:09
Вс статье утверждается, что Гёдель верил в загробное существование и эту свою веру он обосновывает тем, что, по его мнению, время когда-то прекратится и наступит вечность. "Если мир является разумно сконструированным, тогда должно быть посмертное существование" - таков, согласно цитате, его вывод. Но этот вывод не следует с логической необходимостью из сделанной посылки. Я, например, не вижу оснований для такого вывода исходя из того, что, как правильно утверждается, "мир является разумно сконструированным". Поэтому, возможно, великий логик допустил логическую ошибку.
Из этой статьи также видна причина этого - он не имел точных знаний из Библии, которая даёт ясный ответ на этот вопрос, а он читал Библию, как отмечается в статье со сылкой на его биографа, только "по воскресеньям утром", что вряд ли можно назвать глубоким исследованием Писания.
Библия же ясно говорит о том, что жизнь на земле никогда не прекратится: "Праведные наследуют землю и будут жить на ней вечно" (Псалом 36:29). В этом состоит изначальный замысел Творца. Как говорит пророк Исайя, "Он, Бог, образовавший землю и создавший ее; Он утвердил ее, не напрасно сотворил ее; Он образовал ее для жительства:" (Исайя 45:18). Поэтому время и вечность не исключают друг друга - люди могут и будут жить вечно в материальном мире, где, по-видимому, будет существовать время, как атрибут этого материального мира, только время не будет давлеть над людьми, как это происходит сейчас, и, возможно, отношение к самому времени будет у вечно живущих людей несколько иное, чем как это есть сейчас.
Ответить

#
4.03.2009 в 19:28
В книжке написано все вполне корректно. Недоказуемое утверждение А в системе S может быть истинным в качестве аксиомы в системе S+A, либо истинность А может быть доказуема в системе аксиом S+B. Т.е. утверждение может быть истинным, но доказательство его истинности требует введения дополнительных предположений, не входящих в аксиоматику исходной системы. Вот и все. Здесь все строго логично, а вот в вашем высказывании, если его понимать вне рамок аксиоматики конкретных систем, логика отсутствует. Именно поэтому я и привел ссылку на цитату из книги про теорему Геделя, чтобы еще раз вам на это указать.

Разумеется, дальше в системе аксиом S+B могут быть и будут недоказуемые утверждения, которые вновь требуют расширения аксиоматики и т.д. Таким образом, теорема Геделя поднимает серьезные гносеологические вопросы.
Именно на это указал в своей статье С. Хокинг, говоря, что "теория всего" не может быть построена с опорой на конечное число принципов или аксиом.
Ответить

#
4.03.2009 в 16:43
"Вы хоть сами поняли, что написали? Если утверждение истинно, но истинность его не может быть доказана, откуда же вы узнали, что оно истинно? Поверили на слово? Гедель не об этом говорил."

Я как раз-таки понял... =)

"В любой непротиворечивой системе аксиом можно обнаружить истинное предположение о целых числах, которое не может быть доказано в рамках самой этой аксиоматической системы."

Ну вот, о чём, собственно и речь. Истинное недоказуемое суждение.

"Часто говорилось, что Гедель продемонстрировал, что существуют истины, которые не могут быть доказаны. Это неверно, поскольку в теореме о неполноте нет ничего, что может подразумеваться под выражением «не могут быть доказаны» в абсолютном смысле. «Недоказуемы» в контексте теоремы о неполноте, означает «недоказуемы в некоторой частной формальной системе."

Как любит говорить профессор А.И.Осипов: "А что такое доказательство?". Естественно, здесь речь идёт о доказательстве в рамках формальной системы. Только что это меняет? Нам от этого ничуть не легче - принять за аксиому не значит доказать. Тем более, что тут же выскочат новые недоказумые суждения.. Так что в той книжке, про которую Вы говорите что-то странное написано.

"Надеюсь, что наш диалог будет взаимоообогащающим."

Я тоже надеюсь. Только у меня Ваших контактов нет. Если у Вас есть возможность связаться с модератором, попросите у него мой email. По электронной почте удобнее общаться.
Ответить

#
3.03.2009 в 20:46
сПоправляю ссылку: http://arxiv.org/abs/0705.0147
Надеюсь, что наш диалог будет взаимоообогащающим. Если Вас интересует литература по Геделю, пишите лично, я Вам вышлю, как биографии, так и специальные работы по теоремам о неполноте и другим вопросам.
С уважением, иерей Димитрий.
Ответить

#
3.03.2009 в 18:41
Да, и ещё ссылка [22] не работает. Говорит, страница не найдена.
Ответить

#
3.03.2009 в 17:51
Вы хоть сами поняли, что написали? Если утверждение истинно, но истинность его не может быть доказана, откуда же вы узнали, что оно истинно? Поверили на слово? Гедель не об этом говорил. Кстати, я ведь не сам придумал формулировку теоремы Геделя, а дал ссылку на вполне конкретную статью, которую, при желании, можно было прочитать.
Но для того, чтобы развеять Ваши сомнения, я не буду писать своими словами, а дам формулировку теоремы Геделя по нескольким авторитетным изданиям.
«В любой непротиворечивой системе аксиом можно обнаружить истинное предположение о целых числах, которое не может быть доказано в рамках самой этой аксиоматической системы. Результат этого в том, что если аксиомы арифметики не являются самопротиворечивыми, то из этого набора аксиом могут быть выведены не все истинные положения арифметики, следовательно, арифметика не полна. Именно этот результат, что непротиворечивость подразумевает неполноту, и имеет важные следствия для гносеологии. Деятельность Геделя получила свой стимул из программы математика Дэвида Гильберта (1862-1943), чьим намерением было показать, что непротиворечивость высшей математики не должна основываться только на вере в разумность ее аксиом и методов, но может быть установлена с использованием средств, не менее очевидных, чем в элементарной арифметике. Связь между непротиворечивостью и полнотой элементарной арифметики, которую открыл Гедель, однако, привела его в конечном итоге к выводу о том, что цель Гильберта недостижима». (Encyclopedia of Science and Religion. NY, Gale, 2003. P. 380.)
Из книги Torkel F. Godel’s Theorem. Its Use and Abuse. Sweden. 2005.
1 теорема о неполноте (Геделя-Россера).
«Любая непротиворечивая формальная система S, в рамках которой может выполняться элементарная арифметика, является неполной по отношению к утверждениям элементарной арифметики: существуют такие утверждения, которые не могут быть доказаны, ни опровергнуты в S». (C. 16).
Как видите, формулировка теоремы Геделя не содержит высказывания об истинности, она шире вашего мнения о ней.
А вот прямо относительно Вашего вопроса:
«Часто говорилось, что Гедель продемонстрировал, что существуют истины, которые не могут быть доказаны. Это неверно, поскольку в теореме о неполноте нет ничего, что может подразумеваться под выражением «не могут быть доказаны» в абсолютном смысле. «Недоказуемы» в контексте теоремы о неполноте, означает «недоказуемы в некоторой частной формальной системе». Так, если какое-либо утверждение А недоказуемо в частной формальной системе S, существуют, очевидно, другие формальные системы, в которых А доказуемо. В частности, А доказуемо в теории S+A, в которое А принимается за аксиому. (С. 24).
Ответить

#
2.03.2009 в 17:45
Как раз-таки, принципиально. В том-то и парадокс, что утверждение истинно, а доказать, что оно истинно нельзя. А "предположение, которое никогда не может быть доказано или опровергнуто в рамках этой системы" - это, если не ошибаюсь, не теорема Гёделя, а более слабое утверждение.
Ответить

#
2.03.2009 в 12:04
Совершенно верно. Эта мысль выражена в цитируемой вами фразе в выражении "предположение, которое никогда не может быть доказано или опровергнуто в рамках этой системы". Точнее было сказать, конечно, истинность которого и далее по тексту. Но не думаю, что это замечание принципиально, т.к. смысл здесь не искажается.
Ответить

#
1.03.2009 в 19:22
"Первая теорема Геделя о неполноте утверждает, что «любая формальная система, которая является столь же сложной как арифметика, конечной и последовательной, содержит предположение, которое никогда не может быть доказано или опровергнуто в рамках этой системы, и, таким образом, является неполной»"

Вообще-то, если не ошибаюсь, там должна ещё быть фраза об истинности гипотезы. Или это уже не 1-я теорема? "В любой достаточно сложной формальной системе содержатся истинные недоказуемые суждения".
Ответить

Написать комментарий

Правила о комментариях

Все комментарии премодерируются. Не допускаются комментарии бессодержательные, оскорбительного тона, не имеющие своей целью плодотворное развитие дискуссии. Обьём комментария не должен превышать 2000 знаков. Републикация материалов в комментариях не допускается.

Просим читателей обратить внимание на то, что редакция, будучи ограничена по составу, не имеет возможности сканировать и рассылать статьи, библиограммы которых размещены в росписи статей. Более того, большинство этих статей защищены авторским правом. На просьбу выслать ту или иную статью редакция отвечать не будет.

Вместе с тем мы готовы рассмотреть вопрос о взаимном сотрудничестве, если таковые предложения поступят.

Прим.: Адрес электронной почты опубликован не будет и будет виден лишь модераторам.

 *
Введите текст, написанный на картинке:
captcha
Загрузить другую картинку

добавить на Яндекс добавить на Яндекс